Laplace-Würfel

W¨urfel-Aufgabe Bayern LK 2006
Die Firma VEGAS hat ein neues Gesellschaftsspiel entwickelt, bei dem neben Laplace-W¨urfeln auch
spezielle Vegas-W¨urfel verwendet werden, die sich ¨außerlich von den Laplace-W¨urfeln nicht unterscheiden.
Die Vegas-W¨urfel zeigen die Augenzahl ”6“ mit der erh¨ohten Wahrscheinlichkeit 1
3 , w¨ahrend die anderen
Augenzahlen untereinander gleich wahrscheinlich sind.
1. Zeigen Sie, dass der Erwartungswert der Zufallsgr¨oße ”Augenzahl beim einmaligenWerfen eines Vegas-
W¨urfels“ 4 ist.
2. Auf dem Tisch liegen ungeordnet drei Laplace-W¨urfel und ein Vegas-W¨urfel. Ein Spieler nimmt davon
zuf¨allig drei W¨urfel und wirft sie gleichzeitig.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er drei gleiche Augenzahlen, wenn er drei Laplace-W¨urfel
genommen hat? Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er drei gleiche Augenzahlen, wenn er zwei
Laplace-W¨urfel und den Vegas-W¨urfel genommen hat?
Welche Folgerung k¨onnen Sie aus Ihren Ergebnissen bez¨uglich der stochastischen Abh¨angigkeit der
Ereignisse ”Er erzielt drei gleiche Augenzahlen“ und ”Er nimmt drei Laplace-W¨urfel“ ziehen?
3. Um bei einem W¨urfel festzustellen, ob es sich um einen Laplace- oder Vegas-W¨urfel handelt, wird
er 100-mal geworfen. Ein Vegas-W¨urfel soll mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% als
solcher eingestuft werden.
a) Bestimmen Sie hierzu die Entscheidungsregel anhand der Anzahl der geworfenen Sechser so, dass
m¨oglichst auch ein Laplace-W¨urfel richtig eingestuft wird.
[Ergebnis: Entscheidung f¨ur Vegas-W¨urfel ab 23 geworfenen Sechsern]
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei dieser Entscheidungsregel ein Laplace-W¨urfel falsch eingestuft?
Eine Packung des Spiels enth¨alt - ungeordnet und ¨außerlich nicht unterscheidbar - 7 Laplace- und 3 Vegas-
W¨urfel.
4. Aus dieser Packung wird ein W¨urfel entnommen und 100-mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
handelt es sich um einen Vegas-W¨urfel, wenn dabei 25-mal eine ”6“ geworfen wird?
5. Die 10W¨urfel werden nun einzeln nacheinander aus der Packung entnommen und je 100-mal geworfen.
a) Die Zufallsgr¨oße X bezeichne die Anzahl der geworfenen Sechser unter den insgesamt 1000 durchzuf
¨uhrenden W¨urfen. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X.
[Ergebnis : E(X) = 21623
, V (X) = 16389
]
b) Die Zufallsgr¨oße X ist n¨aherungsweise normalverteilt. Berechnen Sie mit Hilfe der Normalverteilung,
mit welcher Wahrscheinlichkeit bei den 1000 W¨urfen mehr als 225-mal eine ”6“ geworfen
wird.
6. Bei einem Spiel werden jeweils 5 W¨urfel geworfen. Aus den Augenzahlen - aufgefasst als Ziffern -
werden m¨oglichst große f¨unfstellige nat¨urliche Zahlen gebildet, z.B. 43321, nicht jedoch 34312.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erh¨alt man eine Zahl gr¨oßer als 50000, wenn es sich um 5 Laplace-
W¨urfel handelt?
b) Wie viele verschiedene nat¨urliche Zahlen k¨onnen nach dieser Spielregel gebildet werden? W¨ahlen
Sie aus den folgenden kombinatorischen ”Modellen“ zun¨achst das f¨ur dieses Problem passende
aus und bestimmen Sie dann mit dessen Hilfe die gesuchte Anzahl.
A) Anzahl der f¨unfstelligen Zahlen aus den Ziffern 1 bis 6 dividiert durch die Zahl der Permutationen
von 5 Elementen
B) Zahl der m¨oglichen Verteilungen von 5 Kugeln auf 6 Urnen, wobei es nur auf die jeweilige
Anzahl der Kugeln in den Urnen ankommt
C) Zahl der m¨oglichen Verteilungen von 6 Kugeln auf 5 Urnen, wobei es nur auf die jeweilige
Anzahl der Kugeln in den Urnen ankommt

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